2000年试题分析、详解= 和评注

2003年考研数学（一）İ= 95;题评注

一、填空题（本题共6小题，每&#= 23567;题4分，满分24分= . 把答案填在题中= 横线上）

（1）<= /b> _{=3D .}

【分析】型未= 定式，化为指数函数= 5110;利用公式_{_=3D}进行= 计算求极限均可.

【详解1】 _{=3D_,}

而= ，<= /p>
故原式=3D

【详解2】因为=     ，<= /p>
所以    原式=3D

【评注】本题属常规题型= ，完全类似例题见《= 5968;学复习指南》P.24-25 【Ë= 63;1.30-31】<= span lang=3DEN-US>.

（2）<= /b> 曲面与平= 面平行= 的切平面的方程是<= span lang=3DEN-US>.

【分析】待求平面&#= 30340;法矢量为，因= 此只需确定切点坐标= 1363;可求出平面方程, 而切点坐&#= 26631;可根据曲面切平= 面的法矢量与平行= 确定.

【详解】令，则=

，<= span lang=3DEN-US>_{， =
_.}

设切点坐&#= 26631;为，则= 切平面的法矢量为，其= 与已知平面平行= ，因此有

        ，<= /p>
可解得   _{，相=
应地有}

故所求的&#= 20999;平面方程为

    ，即= _.

【评注】本题属基本题型= ，完全类似例题见《= 5968;学复习指南》P.279 【例10.2= 8】和

《数学题&#= 22411;集粹和练习题集》P.112 【Ë= 63;8.13】<= span lang=3DEN-US>.

（3）设，则= _{=3D   =

1     .}

【分析】将= 展开= 为余弦级数，其= 系数计算公式为_.

【详解】根据余弦级数的= 定义，有



        =     =3D

        =     =3D

        =     =3D1.

【评注】本题属基本题型= ，主要考查傅里叶级= 5968;的展开公式，本质ߍ= 8;转化为定积分的计算<= /span>. 完全类似&#= 20363;题见《文登数学全İ= 95;模拟试卷》数学一<= span lang=3DEN-US>P.62第一= 大题第（6）小题和&#= 12298;数学复习指南》P.240 【Ë= 63;8.37】<= span lang=3DEN-US>.

（4）<= /b>从的基= 到基= 的过= 渡矩阵为   .

【分析】 n维向量空&#= 38388;中，从基到基= 的过= 渡矩阵P满足

[_{]=3D[_]P}，因= 此过渡矩阵P为：P=3D[_{[_.}

【详解】根据&= #23450;义，从的基= 到基= 的过= 渡矩阵为

P=3D[= _{[_.}

=3D

【评注】本题属基本题型= ，完全类似例题见《= 5968;学复习指南》P.429 【Ë= 63;3.35】<= span lang=3DEN-US>.

（5）设二维随机变量(X,Y)的概= 率密度为



则= _.

【分析】已知二维随机变= 量(X,Y)的概= 率密度f(x,y)，求= 满足一定条件的概率，一= 般可转化为二重积分_=3D进行= 计算.

【详解】由题设，有

        =       =3D

        =          y

        =     1

<= ![endif]>        =

<= ![endif]>        =         D

<= ![endif]>        =      O     &nbs= p; _{1        =

x}

【评注】本题属基本题型= ，但在计算二重积分= 6102;，应注意找出概率भ= 4;度不为零与满足不等&= #24335;的公= 共部分D，再在其&#= 19978;积分即可. 完全类似&#= 20363;题见《文登数学全İ= 95;模拟试卷》数学一<= span lang=3DEN-US>P.14第一= 大题第（5）小题.

（6）已知一批零件的长ò= 30;X (单位= ：cm)服从= 正态分布，从= 中随机地抽取16个零件，&#= 24471;到长度的平均值为40 (cm)，则= 的置= 信度为0.95的置= 信区间是 .

(注<= /b>：标准正态分布= 函数值

【分析】已知方差，对= 正态总体的数学期望进行= 估计，可根据，由= 确定= 临界值，进= 而确定相应的置信区= 8388;.

【详解】由题设，，可= 见于是= 查标准正态分布表知本题= n=3D16, _,因此= ，根据，有=

，即= ，故= 的置= 信度为0.95的置= 信区间是_.

【评注】本题属基本题型= ，完全类似例题见《= 5968;学复习指南》P.608 【Ë= 63;6.16】<= span lang=3DEN-US>.

二、= 选择题（本题共6小题，每小题<= span lang=3DEN-US>4分，满分24分= . 每小题给出的四= 个选项中，只有一项= 1526;合题目要求，把所๧= 3;项前的字母填在题后&= #30340;括号内）

（1）设函数f(x)在<= span lang=3DEN-US>_{内连=
续，其导函数的图形=
2914;图所示，则f(x)有<=
/p>}
(A)   一个极小值点和两È= 10;极大值点.   <= /p>
(B)   两个极小值点和一È= 10;极大值点.

(C)   两个极小值点和两È= 10;极大值点.

      (D) 三个极小值点和一È= 10;极大值点.         =             &nb= sp;           [ C   ]

<= ![endif]>        =             &nb= sp;     y

<= ![endif]>        =          O        =          x

【分析】答案与极值点个= 数有关，而可能的极= 0540;点应是导数为零或ल= 8;数不存在的点，共4个，是极&#= 22823;值点还是极小值可Ű= 27;一步由取极值的第一= 或第二充分条件判定.

【详解】根据导函数的图= 形可知，一阶导数为= 8646;的点有3个，而 x=3D0 则是= 导数不存在的点. 三个一阶&#= 23548;数为零的点左右两Ë= 91;导数符号不一致，必= 为极值点，且两个极= 3567;值点，一个极大值୅= 7;；在x=3D0左侧= 一阶导数为正，右侧= 9968;阶导数为负，可见x=3D0为极= 大值点，故f(x)共有= 两个极小值点和两个= 6497;大值点，应选(C).

【评注】本题属新题型，= 类似考题2001年数= 学一、二中曾出现过= 5292;当时考查的是已知f(x)的图= 象去推导的图= 象，本题是其逆问题. 完全类似&#= 20363;题在文登学校经济ľ= 67;串讲班上介绍过.

（2）<= /b>设均为= 非负数列，且_{,_{,_,}}则必= 有

(A) <= sub>对任= 意n成立.        =     (B) 对任= 意n成立.

(C) 极限不存= 在.        =      (D) 极限不存= 在.    &nbs= p; [ D ]

【分析】本题考查极限概= 念，极限值与数列前= 8754;有限项的大小无关ᦁ= 2;可立即排除(A),(B)； = 而极限_{<=
!--[if gte vml 1]>}是<= span lang=3DEN-US>_{型未=
定式，可能存在也可=
3021;不存在，举反例说਴=
6;即可；极限属<=
span
lang=3DEN-US>_{型，=
必为无穷大量，即不=
3384;在.}}

【详解】用举反例法，取= ，<= span lang=3DEN-US>_{，<=
span
lang=3DEN-US>_{，则=
可立即排除(A),(B),(C)，因=
此正确选项为(D).}}

【评注】对于不便直接证= 明的问题，经常可考= 4385;用反例，通过排除ૢ= 1;找到正确选项. 完全类似&#= 26041;法见《数学最后冲Ò= 50;》P.179.

（3）<= /b>已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连= 续，且，则=

(A) 点(0,0)不是= f(x,y)的极= 值点.

(B) 点(0,0)是<= span lang=3DEN-US>f(x,y)的极= 大值点.

(C) 点(0,0)是<= span lang=3DEN-US>f(x,y)的极= 小值点.

(D) 根据所给条件无法Ò= 28;断点(0,0)是否= 为f(x,y)的极= 值点.        =       [ A ]

【分析】由题设，容易推= 知f(0,0)=3D0，因= 此点(0,0)是否= 为f(x,y)的极= 值，关键看在点(0,0)的充= 分小的邻域内f(x,y)是恒= 大于零、恒小于零还= 6159;变号.

【详解】由知，= 分子的极限必为零，= 0174;而有f(0,0)=3D0, 且<= /p>
充分= 小时），于是

可见当y=3Dx且<= span lang=3DEN-US>_{充分=
小时，；<=
/b>而当y=3D -x=
且充分=
小时，_.故点=
(0,0)不是=
f(x,y)的极=
值点，应选(A).}

【评注】本题综合考查了= 多元函数的极限、连= 2493;和多元函数的极值ઍ= 0;念，题型比较新，有&= #19968;定难度. 将极限表&#= 31034;式转化为极限值加Ą= 80;穷小量，是有关极限= 分析过程中常用的思= 4819;，类似分析思想的ߴ= 3;题见《数学复习指南&= #12299;P.43 【Ë= 63;1.71】.

（4）设向量组I：可由= 向量组II：线性= 表示，则

   (A) 当时，= 向量组II必线性相关. (B) 当时，= 向量组II必线性相关.

    (C) 当时，= 向量组I必线性相关.   (D) 当时，= 向量组I必线性相关.

        =             &nb= sp;                 =             &nb= sp;            =        [ D= ]

【分析】本题为一般教材= 上均有的比较两组向= 7327;个数的定理：若向ດ= 7;组I：可由= 向量组II：线性= 表示，则当时，= 向量组I必线性相关. 或其逆否&#= 21629;题：若向量组I：可由= 向量组II：线性= 表示，且向量组I线性无关，则必有_.可见= 正确选项为(D). 本题= 也可通过举反例用排= 8500;法找到答案.

【详解】用排除法：如<= span lang=3DEN-US>_{，则=
，但=
线性=
无关，排除(A)；<=
span
lang=3DEN-US>_{，则=
可由=
线性=
表示，但线性=
无关，排除(B)；<=
span
lang=3DEN-US>_{，<=
span
lang=3DEN-US>_{可由=
线性=
表示，但线性=
无关，排除(C). 故正=
确选项为(D).}}}}

【评注】本题将一已知定= 理改造成选择题，如= 6524;考生熟知此定理应෽= 3;可直接找到答案，若&= #35760;不清楚，也可通过= 500;造适当的反例找到正= ;确选项。此定理见《&#= 25968;学复习指南》P.409 定理= 11.

（5）设有齐次线性方程ń= 52;Ax=3D0和<= span lang=3DEN-US>Bx=3D0, 其中= A,B均为= 矩阵= ，现有4个命题：

① 若Ax=3D0的解= 均是Bx=3D0的解= ，则秩(A)秩<= span lang=3DEN-US>(B)；<= /p>
② 若秩(A)秩<= span lang=3DEN-US>(B)，则= Ax=3D0的解= 均是Bx=3D0的解= ；

③ 若Ax=3D0与<= span lang=3DEN-US>Bx=3D0同解= ，则秩(A)=3D秩<= span lang=3DEN-US>(B)；<= /p>
④ 若秩(A)=3D秩<= span lang=3DEN-US>(B)， = 则Ax=3D0与Bx=3D0同解.

以上命题中正确= 的是

(A) ①&nb= sp; ②.        =             &nb= sp; (B) ① ③.

(C) ②&nb= sp; ④.           =            (D= ) ③ ④.        =            [ B ]

【分析】本题也可找反例= 用排除法进行分析，= 0294;①&nb= sp; ②两个命题的反例比ů= 39;复杂一些，关键是抓= 住③ 与 ④，迅速排除不正= 确的选项.

【详解】若Ax=3D0与Bx=3D0同解，则n-秩(A)=3Dn - 秩(B), 即秩(A)=3D<= span style=3D'font-family:SimSun;mso-ascii-font-family:"Times New Roman";mso-han= si-font-family: "Times New Roman"'>秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但= 反过来，若秩(A)=3D秩<= span lang=3DEN-US>(B)， = 则不能推出Ax=3D0与<= span lang=3DEN-US>Bx=3D0同解= ，如，<= span lang=3DEN-US>_{，则=
秩(A)=3D秩<=
span
lang=3DEN-US>(B)=3D1，但=
Ax=3D0与<=
span
lang=3DEN-US>Bx=3D0不同=
解，可见命题④不成立，排除(D),故正=
确选项为(B).}

【评注】文登学校数学辅= 导班上曾介绍过这样= 9968;个例题：

【例】齐次线性方程组Ax=3D0与<= span lang=3DEN-US>Bx=3D0同解= 的充要条件

(A) r(A)=3Dr(B).=         =             &nb= sp;   (B) A,B为相似矩阵.

(C) A, B<= span style=3D'font-family:SimSun;mso-ascii-font-family:"Times New Roman";mso-han= si-font-family: "Times New Roman"'>的行向量组等价= .        =        (D) A,B的列向量组等价= .    &nbs= p; [ C ]

有此例题&#= 20026;基础，相信考生能Ű= 05;速找到答案.

（6）设随机变量，则=

(A) _{.        =

(B) _.}

(C) _{.        =

(D) _{.        =
            &nb=
sp;
[ C ]}}

【分析】先由分布= 的定义知，其= 中，再= 将其代入，然= 后利用F分布的定&#= 20041;即可.

【详解】由题设知，，其= 中，于= 是

_=3D，这= 里，根= 据F分布的定&#= 20041;知故应= 选(C).

【评注】本题综合考查了= t分布、_{分布=
和F分布的概&#=
24565;，要求熟练掌握此Ç=
77;类常用统计量分布的=
定义, 见《文登&#=
25968;学全真模拟试卷》ă=
68;学一P.57第二=
大题第（6）小题（&#=
20107;实上完全相当于原Ɔ=
64;）和《数学复习指南=
》P.592的定=
义和P.595的【=
解题提示】.}

三 、（本题满分10分）=

过坐标原点作曲线y=3Dlnx的切= 线，该切线与曲线y=3Dlnx及<= span lang=3DEN-US>x轴围成平&#= 38754;图形D.

(1)    求D的面积A;

(2)    求D绕直线x=3De<= /span>旋转一周所得旋= 转体的体积V.

【分析】先求出切点坐标= 及切线方程，再用定= 1215;分求面积A; 旋转= 体体积可用一大立体= 5288;圆锥）体积减去一ऴ= 7;立体体积进行计算，&= #20026;了帮助理解，可画= 968;草图.

【详解】 (1) 设切点的横坐标= 为，则= 曲线y=3Dlnx在点= 处的= 切线方程是

           =

由该切线过原点= 知，从= 而所以= 该切线的方程为

        =

平面图形D的面积

     = ;

（2）切线= 与<= span lang=3DEN-US>x轴及直线x=3De所围= 成的三角形绕直线x=3De旋转= 所得的圆锥体积为     = ;

曲线y=3Dlnx= 与x轴及直线x=3De所围成的图形绕= 直线x=3De旋转= 所得的旋转体体积为

        ，<= /p>
因此所求&#= 26059;转体的体积为



        =             &nb= sp;   y

<= ![endif]>        =             1

<= ![endif]>        =             &nb= sp;      D

<= ![endif]>        =                O     1     e         x

【评注】本题不是求绕坐= 标轴旋转的体积，因= 7492;不能直接套用现有ࠤ= 4;式. 也可考虑&#= 29992;微元法分析，完全ľ= 67;似例题见《数学复习= 指南》P.197的【= 例7.34】和= P.201的【= 例7.42】<= span lang=3DEN-US>.

四 、（本题满分12分）=

将函数展开= 成x的幂级数&#= 65292;并求级数的和= .

【分析】幂级数展开有直= 接法与间接法，一般= 2771;查间接法展开，即๩= 0;过适当的恒等变形、&= #27714;导或积分等，转化= 026;可利用已知幂级数展= ;开的情形。本题可先&#= 27714;导，再利用函数

的幂级数&#= 23637;开即可= ，然后取x为某特殊&#= 20540;，得所求级数的和.

【详解】因为

又= f(0)=3D_,所以=

₌

     =3D

因为级数收敛= ，函数f(x)在<= span lang=3DEN-US>处连= 续，所以



令= ，得=

        _,

再由，得=



【评注】完全类似例题见= 《数学复习指南》P.228的【= 例8.25】<= span lang=3DEN-US>.

五 、（本题满分10分）=

已知平面区域，<= span lang=3DEN-US>L为= D的正向边界. 试证：

(1) <= sub>;

(2) <= sub>

【分析】本题边界曲线为= 折线段，可将曲线积= 0998;直接化为定积分证਴= 6;，或曲线为封闭正向&= #26354;线，自然可想到用= 684;林公式；(2)的证= 明应注意用(1)的结= 果.

【详解】 方法一：

(1) 左边=3D

        =3D，<= /p>
    右边=3D

        =3D，<= /p>
所以    .

(2) <= /span>由于，故= 由（1）得



方法二：

（1）根据格林公式，= 得

_{<=
!--[if gte vml 1]>}，<= /p>
_{<=
!--[if gte vml 1]>

.}

因为D 具有轮换&#= 23545;称性，所以

        _=3D，<= /p>
故= _.

    (2) 由(1)知

₌

        =             =3D

        =             =3D（利= 用轮换对称性）

        =             &nb= sp;    =3D

【评注】本题方法一与方= 法二中的定积分与二= 7325;积分是很难直接计౛= 9;出来的，因此期望通&= #36807;计算出结果去证明= 658;等式与不等式是困难= ;的. 另外，一&#= 20010;题由两部分构成时ʌ= 92;求证第二部分时应首= 先想到利用第一部分= 0340;结果，事实上，第ߌ= 8;部分往往是起桥梁作&= #29992;的.

本题完全类似例题Š= 65;《数学复习指南》<= span lang=3DEN-US>P.325的【= 例12.15】<= span lang=3DEN-US>, 相当于此&#= 20363;题中取，也= 就是说，本题是【例= 12.15】的= 特殊情形.

=

六 、（本题满分10分）=

某建筑工程打地基ą= 02;，需用汽锤将桩打进= 土层. 汽锤每次&#= 20987;打，都将克服土层ë= 45;桩的阻力而作功. 设土层对&#= 26729;的阻力的大小与桩ŝ= 87;打进地下的深度成正= 比（比例系数为k,k>0）<= span lang=3DEN-US>.汽锤第一&#= 27425;击打将桩打进地下a m. 根据= 设计方案，要求汽锤= 7599;次击打桩时所作的ࡃ= 1;与前一次击打时所作&= #30340;功之比为常数r(0<r<1). 问<= /p>
(1) <= /span>汽锤击打桩3次后，可&#= 23558;桩打进地下多深？

(2) <= /span>若击打次数不限= ，汽锤至多能将桩打= 6827;地下多深？

（注：m表示长度&#= 21333;位米.）

【分析】本题属变力做功= 问题，可用定积分进= 4892;计算，而击打次数ߎ= 1;限，相当于求数列的&= #26497;限.

【详解】 (1) 设第= n次击打后&#= 65292;桩被打进地下，第= n次击打时&#= 65292;汽锤所作的功为_.由题= 设，当桩被打进地下= 0340;深度为x时，土层&#= 23545;桩的阻力的大小为，所= 以

    ，<= /p>


由可得=



即=



由可得=

    ，<= /p>
从而    ，<= /p>
即汽锤击&#= 25171;3次后，可&#= 23558;桩打进地下_.

（2）由归纳法，设<= span lang=3DEN-US>_，则=

        =       =3D

由于，故= 得

        _,

从而

于是    ，<= /p>
即若击打&#= 27425;数不限，汽锤至多Ŋ= 21;将桩打进地下_m.

【评注】本题巧妙地将变= 力作功与数列极限两= 0010;知识点综合起来了ᦁ= 2;有一定难度。但用定&= #31215;分求变力做功并不= 159;什么新问题，何况本= ;题的变力十分简单，&#= 21464;力更复杂的情形可Ö= 42;见《数学复习指南》= P.202的【= 例7.44-45】<= span lang=3DEN-US>.

七 、（本题满分12分）=

设函数y=3Dy(= x)在内具= 有二阶导数，且是<= span lang=3DEN-US>y=3Dy(x)的反= 函数.

(1) 试将x=3Dx(y)所满足的微分方= 程变换= 为y=3Dy(x)满足= 的微分方程；

(2) 求变= 换后的微分方程满足= 1021;始条件的解= .

【分析】将转化= 为比较= 简单，_=3D，关= 键是应注意：

_=3D

     =3D_.

然后再代&#= 20837;原方程化简即可.

【详解】 (1) 由反= 函数的求导公式知，于= 是有

_{=3D_{=3D_.}}

代入原微&#= 20998;方程得

         _{=
            &nb=
sp;            =
          (}* )

(2) <= /span>方程( * )所对应的齐次方= 程的通= 解为

        =

设方程( * )的特解为

     = ; ，<= /p>
代入方程( * )，求得，故= ，从= 而的通= 解是

        =

由，得= _.故所= 求初值问题的解为



【评注】本题的核心是第= 一步方程变换，完全= 1867;似例题见《数学复ߖ= 4;指南》P.53的【= 例2.8】<= span lang=3DEN-US>.

八 、（本题满分12分）=

设函数f(x)连续且恒大于零= ，

   ，<= span lang=3DEN-US>_，<=
/p>
其中，<= span lang=3DEN-US>

(1) <= /span>讨论F(t)在区间_{<=
!--[if gte vml 1]>}内的= 单调性.

(2) <= /span>证明当t>0= 时，

【分析】 (1) 先分= 别在球面坐标下计算= 0998;子的三重积分和在ਖ਼= 7;坐标下计算分母的重&= #31215;分，再根据导函数的符= 号确定单调性；(2) 将待= 证的不等式作适当的= 4658;等变形后，构造辅ࡄ= 1;函数，再用单调性进&= #34892;证明即可.

【详解】 (1) 因为

     ，<= /p>
    ，<= /p>
所以在_{上<=
span
lang=3DEN-US>_{，故=
F(t) 在<=
span
lang=3DEN-US>_{内单=
调增加.}}}

（2）因

        ，<= /p>
要证明t>0时<= span lang=3DEN-US>_{，只=
需证明t>0时，=
，即=}



令=     ，<= /p>
则=     ，故= g(t)在<= span lang=3DEN-US>_{内单=
调增加.}

因为g(t)在<= span lang=3DEN-US>t=3D0处连= 续，所以当t>0时，= 有g(t)>g(0).

又g(0)=3D0, 故当= t>0时，= g(t)>0,

因此，当t>0时，=

【评注】本题将定积分、= 二重积分和三重积分= 1561;多个知识点结合起੖= 9;了，但难点是证明（<= /span>2）中的不&#= 31561;式，事实上，这里È= 63;可用柯西积分不等式= 证明：

         ，<= /p>
在上式中&#= 21462;f(x)为<= span lang=3DEN-US>_{，<=
span
lang=3DEN-US>g(x)为<=
span
lang=3DEN-US>_即可=
.}

完全类似例题见= 《数学题型集粹与练= 0064;题集》P.129【Ë= 63;9.21】、= 【例9.24】和= 《数学复习指南》P.305的【= 例11.26】<= span lang=3DEN-US>.

九 、（本题满分10分）=

设矩阵，<= span lang=3DEN-US>_{，<=
span
lang=3DEN-US>_{，求=
B+2E的特=
征值与特征向量，其=
0013;为<=
span
lang=3DEN-US>A的伴随矩&#=
38453;，E为=
3阶单位矩阵.}}

【分析】可先求出，进= 而确定及<= span lang=3DEN-US>B+2E，再= 按通常方法确定其特= 4449;值和特征向量；或ࠠ= 8;求出A的特征值&#= 19982;特征向量，再相应ß= 20;确定A*的特征值&#= 19982;特征向量，最终根þ= 54;B+2E与<= span lang=3DEN-US>A*+2E相似= 求出其特征值与特征= 1521;量.

【详解】方法一：

经计算可得

        ， = ，<= /p>
        _{=3D_.}

从而

        ，<= /p>
，<= /p>
故= B+2E的特征值为

当时，= 解，得= 线性无关的特征向量= 0026;

     _₌

所以属于&#= 29305;征值的所= 有特征向量为

        ，其= 中是不= 全为零的任意常数.

当时，= 解，得= 线性无关的特征向量= 0026;

    ，<= /p>
所以属于&#= 29305;征值的所= 有特征向量为，其= 中为任= 意常数.

方法二：设A的特征值&#= 20026;，对= 应特征向量为，即= _.由于= ，所= 以

又因，故= 有

于是有   ，<= /p>


因此，_{为<=
span
lang=3DEN-US>B+2E的特=
征值，对应的特征向=
7327;为}

由于，<= /p>
故= A的特征值为

当时，= 对应的线性无关特征= 1521;量可取为，<= span lang=3DEN-US>

当时，= 对应的一个特征向量= 0026;

由，得= ，<= span lang=3DEN-US>_{，<=
span
lang=3DEN-US>_.}

因此，B+2E的三= 个特征值分别为9，= 9，3.

对应于特征值9的全部特&#= 24449;向量为

    ，其= 中是不= 全为零的任意常数；

对应于特征值3的全部特&#= 24449;向量为

    ，其= 中是不= 为零的任意常数.

【评注】设，若= 是<= span lang=3DEN-US>A的特征值&#= 65292;对应特征向量为，则= B与= A有相同的特征值= ，但对应特征向量不= 1516;，B对应特征&#= 20540;的特= 征向量为

本题计算量大，= 但方法思路都是常规= 1644;熟悉的，主要是考੣= 7;考生的计算能力。不&= #36807;利用相似矩阵有相= 516;的特征值以及A与= A*的特征值之间的= 关系讨论，可适当降= 0302;计算量，这方面可ࡠ= 2;见类似例题《考研数&= #23398;大串讲》P.214【Ë= 63;5】，= 《数学最后冲刺》P.136【Ë= 63;3】<= span lang=3DEN-US>.

=

十 、（本题满分8分）=

已知平面上三条不×= 16;直线的方程分别为<= /p>
      _₌，<= /p>
      _₌，<= /p>
      _{_=
.}

试证这三&#= 26465;直线交于一点的充Ñ= 98;必要条件为

【分析】三条直线相交于= 一点，相当于对应线= 4615;方程组有唯一解，๢= 7;而转化为系数矩阵与&= #22686;广矩阵的秩均为2.

【详解】方法一：必要性

设三条直线交于= 一点，则线性方程组

_{=
            &nb=
sp;
(}*)

有唯= 9968;解，故系数矩阵_{与增广矩阵_{的秩均为2，于是=}}

由于

        =3D_,

但根= 5454;题设 _，故

        =

充分性：由_{，则从必要性的&=
#35777;明可知，_，故秩}

由于



        =        =3D_，

故秩(A)=3D2. 于是，

        =    秩(A)=3D秩_=3D2.

    因此ਬ= 1;程组(*)= 377;唯一解，即三直线= 交于= 一点.<= /o:p>

方法二：必要性

设三直线交于一= 点，则= 为<= span lang=3DEN-US>Ax=3D0的非= 零解，其中



于是 _.

    而

        =3D_,

但根= 5454;题设 _，故

        =

充分性：考虑线性= 方程组

         _{=
            &nb=
sp;       (}*)

将方= 1243;组(*)= 340;三个方程相加，并由= ;a+b+c=3D0可知，方程组(*)= 561;价于方程组

        =      _{=
            &nb=
sp;}(* *)

因为

        =        =3D-_,

故方= 1243;组(* *)&#= 26377;唯一解，所以方程ń= 52;(*)= 377;唯一解，即三直线= 交于= 一点.<= /o:p>

【评注】本题&= #23558;三条直线的位置关= 995;转化为方程组的解的= ;判定，而解的判定问&#= 39064;又可转化为矩阵的ĸ= 09;计算，进而转化为行= 列式的计算，综合考= 6597;了多个知识点.

完全类似例题见= 《数学最后冲刺》P.196【Ë= 63;5】<= span lang=3DEN-US>.

十一 、（本题满分10分）=

已知甲、乙两箱= 中装有同种产品，其= 0013;甲箱中装有3件合格品&#= 21644;3件次品，&#= 20057;箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中&#= 20219;取3件产品放&#= 20837;乙箱后，求：

(1) 乙箱= 中次品件数的数学期= 6395;；

(2) 从乙= 箱中任取一件产品是= 7425;品的概率.

【分析】乙箱中可能的次= 品件数为0，= 1，2，3，分别求出其概= 率，再按定义求数学= 6399;望即可；而求从乙౞= 5;中任取一件产品是次&= #21697;的概率，涉及到两= 425;试验，是典型的用全= ;概率公式的情形，第&#= 19968;次试验的各种可能ń= 67;果（取到的次品数）= 就是要找的完备事件= 2452;.

【详解】 (1) X的可= 能取值为0，= 1，2，3，X的概率分布为<= /p>
         ，<= span lang=3DEN-US> k=3D0,1,2,3.

即        =     X     &nbs= p; 0     &nbs= p; 1        2        3

        =       P     &nbs= p; _{_₌}

因此



(2) 设A表示事件&= #8220;从乙箱中任取一件= 产品是次品”，由于，<= span lang=3DEN-US>，<= span lang=3DEN-US>_{，<=
span
lang=3DEN-US>_{构成=
完备事件组，因此根=
5454;全概率公式，有}}

  &= nbsp;

         =3D

         =3D

【评注】本题&= #23545;数学期望的计算也= 487;用分解法：

设



则= 的概= 率分布为

        _{0       1}

<= ![endif]>     P            ₌

因为，所= 以



完全类似例题见= 《考研数学大串讲》P.256【Ë= 63;20】，= 利用分解法求数字特= 4449;的思想见《数学题ࣁ= 1;集粹与练习题集》P.280【Ë= 63;3.18-21】<= span lang=3DEN-US>.

十二 、（本题满分8分）=

设总体X的概率密度为<= /p>


其中是未= 知参数. 从总体X中抽取简&#= 21333;随机样本，记=

(1)    求总体X的分布函数F(x);

(2)    求统计量的分= 布函数；<= /p>
(3)    如果用_{<=
!--[if gte vml 1]>}作为= 的估= 计量，讨论它是否具= 6377;无偏性.

【分析】求分布函数F(x)是基= 本题型；求统计量的分= 布函数，可= 作为多维相互独立且= 1516;分布的随机变量函ਤ= 8;求分布函数，直接用&= #23450;义即可；是否具有= 080;偏性，只需检验是否= 成立.

【详解】 (1)

(2)

        =3D

        =3D

        =3D

        =3D

(3) <= sub>概率= 密度为



因为

        =    =3D，<= /p>
所以作为= 的估= 计量不具有无偏性.

【评注】本题&= #34920;面上是一数理统计&= 382;题，实际上考查了求= ;分布函数、随机变量&#= 30340;函数求分布和概率ê= 94;度以及数学期望的计= 算等多个知识点. 将数理统&#= 35745;的概念与随机变量ĕ= 14;分布与数字特征结合= 起来是一种典型的命= 9064;形式.

完全类似例题见= 《文登数学全真模拟= 5797;卷》试卷（七）第ࡓ= 3;二题（从题型到求解&= #26041;法完全一致）,《数学题&#= 22411;集粹与练习题集》P.292【Ë= 63;5.8】<= span lang=3DEN-US>,在文登学&#= 26657;辅导班上也介绍过Ñ= 60;乎完全一致的例题（= 参加过辅导班的同学= 1487;查看笔记）.

注&#= 65306; 1.《数学复习指南= 2299; （2003版，理工类）世&= #30028;图书出版公司

主编: = 陈文灯、黄先开<= /span>

2.《数学题= 2411;集粹与练习题集》ᦀ= 8;2003版，理工类）世界Þ= 70;书出版公司

主编: = 陈文灯、黄先开<= /span>

3.《文登数= 3398;全真模拟试卷》（2003&#= 29256;，理工类）世界图È= 70;出版公司

主编: = 陈文灯、黄先开<= /span>

4.《数学最= 1518;冲刺》（2003版，理工&#= 31867;）世界图书出版公Ö= 96;

主编: = 陈文灯、黄先开<= /span>

5.《考ం= 0;数学大串讲》（2002版ʌ= 92;理工类）世界图书出= 版公司

主编: = 黄先开、曹显兵、施= 6126;存

(文登学校= 379;稿)